[선형대수학] 14. 가우스-조르단 소거법으로 역행렬 구하기

아래 행렬의 역행렬을 구해볼 것입니다.

 

$A
=\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\ 
2 & 6 & 8\\ 
3 & 6 & 13
\end{bmatrix}$

 

$A$의 역행렬을 $A^{-1}$이라고 한다면, 아래와 같은 등식이 성립합니다. 

 

$\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\ 
2 & 6 & 8\\ 
3 & 6 & 13
\end{bmatrix}
A^{-1}
=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 
0 & 1 & 0\\ 
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$

 

첫째행의 3배를 셋째행에서 빼줍니다. 

 

$\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\ 
2 & 6 & 8\\ 
0 & 0 & 4
\end{bmatrix}
A^{-1}
=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 
0 & 1 & 0\\ 
-3 & 0 & 1
\end{bmatrix}$

 

첫째행의 2배를 둘째행에서 빼줍니다. 

 

$\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\ 
0 & 2 & 2\\ 
0 & 0 & 4
\end{bmatrix}
A^{-1}
=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 
-2 & 1 & 0\\ 
-3 & 0 & 1
\end{bmatrix}$

 

3행을 1/4 해줍니다.

 

$\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\ 
0 & 2 & 2\\ 
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
A^{-1}
=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 
-2 & 1 & 0\\ 
-\frac{3}{4} & 0 & \frac{1}{4}
\end{bmatrix}$

 

3행의 2배를 2행에서 빼줍니다. 

 

$\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\ 
0 & 2 & 0\\ 
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
A^{-1}
=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 
-\frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2}\\ 
-\frac{3}{4}  & 0 & \frac{1}{4}
\end{bmatrix}$

 

2행을 2로 나눕니다. 

 

$\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\ 
0 & 1 & 0\\ 
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
A^{-1}
=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 
-\frac{1}{4} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{4}\\ 
-\frac{3}{4} & 0 & \frac{1}{4}
\end{bmatrix}$

 

3행의 3배를 1행에서 빼줍니다. 

 

$\begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 \\ 
0 & 1 & 0\\ 
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
A^{-1}
=\begin{bmatrix}
-\frac{13}{4} & 0 & -\frac{3}{4} \\ 
-\frac{1}{4} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{4}\\ 
-\frac{3}{4}  & 0 & \frac{1}{4}
\end{bmatrix}$

 

2행의 2배를 1행에서 빼줍니다. 

 

$\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 
0 & 1 & 0\\ 
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
A^{-1}
=\begin{bmatrix}
-\frac{11}{4} & -1 & -\frac{1}{4} \\ 
-\frac{1}{4} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{4}\\ 
-\frac{3}{4}  & 0 & \frac{1}{4}
\end{bmatrix}$

 

우변이 역행렬입니다. 

$A^{-1}
=\begin{bmatrix}
-\frac{11}{4} & -1 & -\frac{1}{4} \\ 
-\frac{1}{4} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{4}\\ 
-\frac{3}{4}  & 0 & \frac{1}{4}
\end{bmatrix}$