[선형대수학] 11. 기본행렬 (소거행렬, 치환행렬)

가우스 소거법과 가우스-조르단 소거법에는 아래 세가지 연산이 사용됩니다.

 

1. 두 행을 서로 바꾼다.    
2. 행에 0이 아닌 값을 곱한다.       
3. 한 행을 다른 행에 더한다.

 

각 연산을 '행렬을 곱하는 것'으로 대신할 수 있습니다. 아래와 같이 행렬형태로 표현된 연립방정식의 양변에 어떤 행렬을 곱하는 것입니다. 

 

$\begin{bmatrix}
? & ? & ?\\ 
? & ? & ?\\ 
? & ? & ?
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a_{1} & b_{1}  & c_{1} \\ 
a_{2} & b_{2}  & c_{2} \\ 
a_{3} & b_{3}  & c_{3}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_{1}\\ 
x_{2}\\ 
x_{3}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
? & ? & ?\\ 
? & ? & ?\\ 
? & ? & ?
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
d_{1}\\ 
d_{2}\\ 
d_{3}
\end{bmatrix}$

 

이와 같이 양변에 곱해져서 위에서 언급한 세가지 연산을 수행하는 행렬을 기본행렬(Elementary matrix)이라고 합니다. 

 

기본행렬은 역할에 따라 소거행렬, 치환행렬, 배수행렬로 나뉩니다. 배수행렬은 방금 만들어낸 말입니다. 

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치환행렬

어떤 행렬 A가 있을 때, 행렬 A에 곱해져서 두 행의 자리를 바꾸는 역할을 하는 행렬을 치환행렬이라고 부릅니다. 

 

예를들어봅시다. 아래와 같은 행렬이 있습니다. 

 

$A=\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\ 
4 & 5 & 6\\ 
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}$

 

아래 행렬을 곱하면 행렬 A의 2행과 3행이 서로 바뀝니다. 

 

$\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & 1\\ 
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\ 
4 & 5 & 6\\ 
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}$

 

1행과 3행을 바꾸고 싶을 때는 아래 행렬을 곱합니다. 

 

$\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 \\ 
0 & 1 & 0\\ 
1 & 0 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\ 
4 & 5 & 6\\ 
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}$

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소거행렬

어떤 행렬 A가 있을 때, 행렬 A에 곱해져서 행렬 A의 p행에 k배를 하여 q행에 더하거나 빼는 행렬을 소거행렬이라고 합니다. 

 

예를들어봅시다. 아래와 같은 행렬이 있습니다.

 

$A=\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\ 
4 & 5 & 6\\ 
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}$

 

1행의 7배를 3행에서 빼려면 아래 행렬을 곱하면 됩니다. 

 

$\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 
0 & 1 & 0\\ 
-7 & 0 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\ 
4 & 5 & 6\\ 
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}$

 

2행의 2배를 3행에 더하려면 아래 행렬을 곱하면 됩니다. 

 

$\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 
0 & 1 & 0\\ 
0 & 2 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\ 
4 & 5 & 6\\ 
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}$

 

소거행렬은 항상 하삼각행렬(lower triangle matrix)입니다. 

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배행행렬

어떤 행렬 A가 있을 때, 행렬 A에 곱해져서 행렬 A의 p행을 k배하는 행렬을 배행행렬이라고 부르겠습니다. 

 

예를들어봅시다. 아래와 같은 행렬이 있습니다.

 

$A=\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\ 
4 & 5 & 6\\ 
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}$

 

2행을 두배해봅시다. 

 

$\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 
0 & 2 & 0\\ 
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\ 
4 & 5 & 6\\ 
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}$

 

배수행렬은 항상 대각행렬입니다.