[선형대수학] 10. 가우스-조르단 소거법을 행렬곱으로 표현하기 (소거행렬, 기본행렬)

가우스 소거법과 가우스-조르단 소거법에는 아래 세가지 연산이 사용됩니다.

 

1. 두 행을 서로 바꾼다.    
2. 행에 0이 아닌 값을 곱한다.       
3. 한 행을 다른 행에 더한다.

 

각 연산을 '행렬을 곱하는 것'으로 대신할 수 있습니다. 오늘은 그 원리를 배워보려고 합니다. 이 원리는 $n \times n$ 행렬의 역행렬을 구하는 데도 사용됩니다. 

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1. 두 행을 서로 바꾼다. 

아래와 같이 행렬 형태로 표현된 연립방정식이 있다고 합시다.

 

$\begin{bmatrix}
a_{1} & b_{1}  & c_{1} \\ 
a_{2} & b_{2}  & c_{2} \\ 
a_{3} & b_{3}  & c_{3}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_{1}\\ 
x_{2}\\ 
x_{3}
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
d_{1}\\ 
d_{2}\\ 
d_{3}
\end{bmatrix}$

 

이 등식의 양변에 행렬을 곱해서 1행과 3행을 바꾸고 싶습니다. 

 

$\begin{bmatrix}
? & ? & ?\\ 
? & ? & ?\\ 
? & ? & ?
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a_{1} & b_{1}  & c_{1} \\ 
a_{2} & b_{2}  & c_{2} \\ 
a_{3} & b_{3}  & c_{3}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_{1}\\ 
x_{2}\\ 
x_{3}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
? & ? & ?\\ 
? & ? & ?\\ 
? & ? & ?
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
d_{1}\\ 
d_{2}\\ 
d_{3}
\end{bmatrix}$

 

앞에 곱해진 행렬의 첫번째 행과, 뒤에 곱해진 행렬의 첫번째 열이 곱해져서, $a_{3}$ 만 살아남아야 합니다. 따라서 앞에 곱해진 행렬의 첫 행은 [0 0 1] 이어야 합니다. 이와 같이 곱해지는 결과를 생각하면, 행렬을 쉽게 찾을 수 있습니다. 

 

$\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1\\ 
0 & 1 & 0\\ 
1 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a_{1} & b_{1}  & c_{1} \\ 
a_{2} & b_{2}  & c_{2} \\ 
a_{3} & b_{3}  & c_{3}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_{1}\\ 
x_{2}\\ 
x_{3}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1\\ 
0 & 1 & 0\\ 
1 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
d_{1}\\ 
d_{2}\\ 
d_{3}
\end{bmatrix}$

 

다른 행의 교환도 같은 방식으로 찾으면 됩니다. 

---

2. 행에 0이 아닌 값을 곱한다.

아래와 같이 행렬 형태로 표현된 연립방정식이 있다고 합시다.

 

$\begin{bmatrix}
a_{1} & b_{1}  & c_{1} \\ 
a_{2} & b_{2}  & c_{2} \\ 
a_{3} & b_{3}  & c_{3}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_{1}\\ 
x_{2}\\ 
x_{3}
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
d_{1}\\ 
d_{2}\\ 
d_{3}
\end{bmatrix}$

 

이 등식의 양변에 행렬을 곱해서 2행을 2배로 만들고 싶습니다. 

 

$\begin{bmatrix}
? & ? & ?\\ 
? & ? & ?\\ 
? & ? & ?
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a_{1} & b_{1}  & c_{1} \\ 
a_{2} & b_{2}  & c_{2} \\ 
a_{3} & b_{3}  & c_{3}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_{1}\\ 
x_{2}\\ 
x_{3}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
? & ? & ?\\ 
? & ? & ?\\ 
? & ? & ?
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
d_{1}\\ 
d_{2}\\ 
d_{3}
\end{bmatrix}$

 

곱해지는 결과를 생각하면, 행렬을 쉽게 찾을 수 있습니다. 

 

$\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\ 
0 & 2 & 0\\ 
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
a_{1} & b_{1}  & c_{1} \\ 
a_{2} & b_{2}  & c_{2} \\ 
a_{3} & b_{3}  & c_{3}
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
x_{1}\\ 
x_{2}\\ 
x_{3}
\end{bmatrix}

=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\ 
0 & 2 & 0\\ 
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
d_{1}\\ 
d_{2}\\ 
d_{3}
\end{bmatrix}$

---

3. 한 행을 다른 행에 더한다.

아래와 같이 행렬 형태로 표현된 연립방정식이 있다고 합시다.

 

$\begin{bmatrix}
a_{1} & b_{1}  & c_{1} \\ 
a_{2} & b_{2}  & c_{2} \\ 
a_{3} & b_{3}  & c_{3}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_{1}\\ 
x_{2}\\ 
x_{3}
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
d_{1}\\ 
d_{2}\\ 
d_{3}
\end{bmatrix}$

 

이 등식의 양변에 행렬을 곱해서, 2행을 3행에 더하고 싶습니다. 

 

$\begin{bmatrix}
? & ? & ?\\ 
? & ? & ?\\ 
? & ? & ?
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a_{1} & b_{1}  & c_{1} \\ 
a_{2} & b_{2}  & c_{2} \\ 
a_{3} & b_{3}  & c_{3}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_{1}\\ 
x_{2}\\ 
x_{3}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
? & ? & ?\\ 
? & ? & ?\\ 
? & ? & ?
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
d_{1}\\ 
d_{2}\\ 
d_{3}
\end{bmatrix}$

 

곱해지는 결과를 생각하면, 행렬을 쉽게 찾을 수 있습니다. 

 

$\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\ 
0 & 1 & 0\\ 
0 & 1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a_{1} & b_{1}  & c_{1} \\ 
a_{2} & b_{2}  & c_{2} \\ 
a_{3} & b_{3}  & c_{3}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_{1}\\ 
x_{2}\\ 
x_{3}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\ 
0 & 1 & 0\\ 
0 & 1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
d_{1}\\ 
d_{2}\\ 
d_{3}
\end{bmatrix}$

---

이와 같이 행렬로 표현된 연립방정식의 양변에 곱해져서 가우스-조르단 소거법의 연산을 수행하는 행렬을 '소거행렬' 또는 '기본행렬' 이라고 합니다.