[선형대수학] 12. 기본행렬(소거행렬)이 항상 역행렬을 갖는 이유

기본행렬 또는 소거행렬은 행렬로 표현된 연립방정식 앞에 곱해져서 아래 연산을 수행하는 행렬입니다.

 

1. 두 행을 서로 바꾼다.    
2. 행에 0이 아닌 값을 곱한다.       
3. 한 행을 다른 행에 더한다.

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어떤 기본행렬 $E_{1}$이 있다고 합시다. 이때, 기본행렬 $E_{1}$의 반대 연산을 수행하는 기본행렬도 항상 존재합니다. 예를들어 $E_{1}$ 이 1,2 행을 서로 바꾸는 연산을 하는 기본행렬이라면, 행 1,2를 다시 바꿔서 원래대로 돌려놓는 기본행렬이 존재하는 것입니다. $E_{1}$의 반대연산을 수행하는 기본행렬을 $E_{2}$ 라고 합시다. 

 

단위행렬에 $E_{1}$ 을 곱하고, 다시 $E_{2}$을 곱하면 원래대로 돌아오므로 그 결과는 단위행렬입니다. 

 

$E_{2}E_{1}I=I$

 

따라서 아래 등식이 성립합니다.

 

$E_{2}E_{1}=I$

 

서로가 서로의 역행렬이 됩니다.