[선형대수학] 30. 특수한 형태의 행렬 (대칭행렬,반대칭행렬)

대칭행렬

말 그대로 대칭인 행렬입니다. 아래 등식이 성립합니다. 

 

$A^{T}=A$

 

행렬 요소로 표현하면 아래와 같습니다. 

 

$A_{ij}=A_{ji}$

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반대칭행렬

부호가 반대인 대칭행렬입니다. 아래 등식이 성립합니다. 

 

$A^{T}=-A$

 

행렬 요소로 표현하면 아래와 같습니다. 

 

$A_{ij}=-A_{ji}$

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대칭행렬의 성질

두 행렬 A,B가 대칭행렬일 때, 아래 명제가 성립합니다

 

1) $A^{T}$ 가 대칭행렬이다. 

2) $kA$ 가 대칭행렬이다. 

3) $A \pm B$ 가 대칭행렬이다. 

4) A가 대칭행렬이면서 역행렬을 가진다면, A의 역행렬은 대칭행렬이다. 

 

4번을 증명해봅시다.

 

A의 역행렬의 전치행렬은 아래와 같습니다. 

 

$(A^{-1})^{T}=(A^{T})^{-1}$

 

A가 대칭행렬이므로 A의 전치행렬은 A와 같습니다. 

 

$(A^{-1})^{T}=(A^{T})^{-1}=A^{-1}$

 

따라서 A의 역행렬의 전치행렬은 A의 역행렬과 같습니다. 

 

$(A^{-1})^{T}=A^{-1}$

 

A의 역행렬은 대칭행렬이 됩니다. 

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대칭행렬들의 곱은 대칭행렬일까? 

 

두 행렬 A,B가 대칭행렬이라고 합시다. 만약 두 행렬의 곱 AB가 대칭행렬이려면 아래 등식이 성립해야 합니다. 

 

$(AB)^{T}=AB$

 

과연 성립할까요? 전치행렬의 성질을 적용해봅시다. 

 

$(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$

 

둘대 대칭행렬 이므로 아래와 같이 변형됩니다. 

 

$(AB)^{T}=BA$

아쉽게도 대칭행렬들의 곱이 대칭행렬이라는 명제는 거짓입니다. 위 수식에서 만약 BA가 AB와 같다면 AB는 대칭행렬이 됩니다. 따라서 아래 성질을 얻습니다. 

 

두 행렬 A,B가 대칭행렬이고 AB=BA 라면, AB는 대칭행렬이다.