[선형대수학] 28. 특수한 형태의 행렬 (대각행렬)

대각행렬(diagonal matrix)은 대각선 방향의 요소를 제외한 나머지 모든 요소가 0인 행렬을 말합니다. $nxn$행렬을 예로 들면 아래와 같습니다. 

$\mathrm{diag}(d_{1},d_{2},...,d_{n})=\begin{bmatrix}
d_{1} & 0 & 0 &0 \\ 
0 & d_{2} & 0  &0 \\ 
0 & 0 & d_{3} & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & d_{4}
\end{bmatrix}$

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대각행렬의 정의

대각행렬을 더 정확히 정의해봅시다. 대각행렬은 행렬의 i행 j열의 성분을 $D_{ij}$ 라고 했을 때, $i\neq j$인 경우 $D_{ij}=0$인 행렬을 말합니다. 

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정사각행렬이 아닌 대각행렬

위와 같은 정의를 이용하면 아래와 같이 정사각행렬이 아닌 대각행렬들도 존재한다는 것을 알 수 있습니다. 

 

$\begin{bmatrix}
1 & 0 &0  &0 \\ 
0 & 2 & 0 & 0\\ 
0 & 0 & 3 & 0
\end{bmatrix}$

 

$\begin{bmatrix}
2 & 0 &0  \\ 
0 & 4 & 0 \\ 
0 & 0 & 5 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}$

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정사각형 대각행렬의 성질

아래와 같은 정사각 대각행렬이 있다고합시다.

 

$D=\begin{bmatrix}
d_{1} & 0 & 0 &0 \\ 
0 & d_{2} & 0  &0 \\ 
0 & 0 & d_{3} & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & d_{4}
\end{bmatrix}$

 

역행렬은 아래와 같습니다.

 

$D^{-1}=\begin{bmatrix}
\frac{1}{d_{1}} & 0 & 0 &0 \\ 
0 & \frac{1}{d_{2}} & 0  &0 \\ 
0 & 0 & \frac{1}{d_{3}} & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & \frac{1}{d_{4}}
\end{bmatrix}$

 

둘을 곱해보면 단위행렬 $I$가 나온다는 것을 알 수 있습니다.

 

거듭제곱은 아래와 같습니다. 

 

$D^{k}=\begin{bmatrix}
d_{1}^{k} & 0 & 0 &0 \\ 
0 & d_{2}^{k} & 0  &0 \\ 
0 & 0 & d_{3}^{k} & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & d_{4}^{k}
\end{bmatrix}$