[선형대수학] 29. 특수한 형태의 행렬 (삼각행렬)

삼각행렬은 모양이 삼각형이라 붙여진 이름입니다. 삼각행렬의 종류는 아래와 같이 두가지가 있습니다. 상삼각행렬과 하삼각행렬입니다.

 

$UpperTriangle=\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12}& a_{13} & a_{14} \\ 
0 & a_{22} & a_{23}  & a_{24} \\ 
0 & 0 & a_{33} & a_{34} \\ 
0 & 0 & 0 & a_{44}
\end{bmatrix}$

 

$LowerTriangle=\begin{bmatrix}
a_{11} & 0 & 0 & 0 \\ 
a_{21} & a_{22} & 0  & 0 \\ 
a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0 \\ 
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}
\end{bmatrix}$

 

각각의 정의를 알아봅시다.

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상삼각행렬의 정의

행렬의 i행 j열의 성분을 $A_{ij}$ 라고 했을 때, $i > j$인 경우 $A_{ij}=0$인 행렬

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하삼각행렬의 정의

행렬의 i행 j열의 성분을 $A_{ij}$ 라고 했을 때, $i < j$인 경우 $A_{ij}=0$인 행렬

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삼각행렬의 성질

1) 상삼각행렬의 전치는 하삼각행렬이다. 하삼각행렬의 전치는 상삼각행렬이다.

2) 상삼각행렬들의 곱은 상삼각행렬이다. 하삼각행렬들의 곱은 하삼각행렬이다.

3) 대각요소가 0이 아니라면 삼각행렬은 항상 역행렬을 갖는다. 

4) 상삼각행렬의 역행렬은 상삼각행렬이다. 하삼각행렬의 역행렬은 하삼각행렬이다.