[선형대수학] 36. LU분해로 역행렬 구하기

LU 분해를 이용하여 아래 행렬의 역행렬을 구해봅시다. 가우스-조르단 소거법을 이용한 역행렬 계산은 14강에서, 기본행렬 연산을 이용한 역행렬 계산은 35강에서 공부한 상태입니다.

 

아래 행렬에 LU 분해를 적용하여 역행렬을 구해보겠습니다. 

 

$A=\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\ 
2 & 6 & 8\\ 
3 & 6 & 13
\end{bmatrix}$

 

먼저 LU 분해를 해봅시다. 

---

LU 분해하기

33강에서 LU분해를 했던 행렬입니다. LU분해 결과는 아래와 같습니다. 

 

$\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\ 
2 & 6 & 8\\ 
3 & 6 & 13
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 
2 & 1 & 0\\ 
3 & 0 & 1
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\ 
0 & 2 & 2\\ 
0 & 0 & 4
\end{bmatrix}$

---

LU 분해로 역행렬을 구하는 원리

행렬 A의 역행렬을 아래와 같이 놓겠습니다. 

 

$\begin{bmatrix}
m_{11} & m_{12}  & m_{13} \\ 
m_{21} & m_{22}  &  m_{23}\\ 
m_{31} & m_{32}   & m_{33} 
\end{bmatrix}$

 

아래 등식이 성립합니다. 

 

$\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\ 
2 & 6 & 8\\ 
3 & 6 & 13
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
m_{11} & m_{12}  & m_{13} \\ 
m_{21} & m_{22}  &  m_{23}\\ 
m_{31} & m_{32}   & m_{33} 
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\ 
0 & 1 & 0\\ 
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$

 

역행렬을 세개의 열벡터로 나누면, 위 등식이 세개의 등식으로 나눠집니다. 

 

$\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\ 
2 & 6 & 8\\ 
3 & 6 & 13
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
m_{11} \\ 
m_{21}\\ 
m_{31}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 \\ 
0 \\ 
0 
\end{bmatrix}$

 

$\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\ 
2 & 6 & 8\\ 
3 & 6 & 13
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
m_{12} \\ 
m_{22}\\ 
m_{32}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\ 
1 \\ 
0 
\end{bmatrix}$

 

$\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\ 
2 & 6 & 8\\ 
3 & 6 & 13
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
m_{13} \\ 
m_{23}\\ 
m_{33}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\ 
0 \\ 
1 
\end{bmatrix}$

 

행렬 A 대신 LU 분해 결과를 대입합시다. 

 

$\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 
2 & 1 & 0\\ 
3 & 0 & 1
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\ 
0 & 2 & 2\\ 
0 & 0 & 4
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
m_{11} \\ 
m_{21}\\ 
m_{31}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 \\ 
0 \\ 
0 
\end{bmatrix}$

 

$\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 
2 & 1 & 0\\ 
3 & 0 & 1
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\ 
0 & 2 & 2\\ 
0 & 0 & 4
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
m_{12} \\ 
m_{22}\\ 
m_{32}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\ 
1 \\ 
0 
\end{bmatrix}$

 

$\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 
2 & 1 & 0\\ 
3 & 0 & 1
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\ 
0 & 2 & 2\\ 
0 & 0 & 4
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
m_{13} \\ 
m_{23}\\ 
m_{33}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\ 
0 \\ 
1 
\end{bmatrix}$

 

이제 각 등식을 풀어줍시다. 아래와 같이 치환합니다. 

 

$\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 
2 & 1 & 0\\ 
3 & 0 & 1
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
y_{11} \\ 
y_{21}\\ 
y_{31}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 \\ 
0 \\ 
0
\end{bmatrix}$

 

$\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 
2 & 1 & 0\\ 
3 & 0 & 1
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
y_{12} \\ 
y_{22}\\ 
y_{32}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\ 
1 \\ 
0
\end{bmatrix}$

 

$\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 
2 & 1 & 0\\ 
3 & 0 & 1
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
y_{13} \\ 
y_{23}\\ 
y_{33}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\ 
0 \\ 
1
\end{bmatrix}$

 

y를 계산하면 아래와 같습니다. 

 

$\begin{bmatrix}
y_{11} \\ 
y_{21}\\ 
y_{31}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 \\ 
-2 \\ 
-3
\end{bmatrix}$

 

$\begin{bmatrix}
y_{12} \\ 
y_{22}\\ 
y_{32}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\ 
1 \\ 
0
\end{bmatrix}$

 

$\begin{bmatrix}
y_{13} \\ 
y_{23}\\ 
y_{33}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\ 
0 \\ 
1
\end{bmatrix}$

 

치환했던 식에 계산한 y를 넣어줍니다. 

 

$\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\ 
0 & 2 & 2\\ 
0 & 0 & 4
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
m_{11} \\ 
m_{21}\\ 
m_{31}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 \\ 
-2 \\ 
-3 
\end{bmatrix}$

 

$\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\ 
0 & 2 & 2\\ 
0 & 0 & 4
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
m_{12} \\ 
m_{22}\\ 
m_{32}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\ 
1 \\ 
0 
\end{bmatrix}$

 

$\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\ 
0 & 2 & 2\\ 
0 & 0 & 4
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
m_{13} \\ 
m_{23}\\ 
m_{33}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\ 
0 \\ 
1 
\end{bmatrix}$

 

m을 계산해줍니다. 

 

$\begin{bmatrix}
m_{11} \\ 
m_{21}\\ 
m_{31}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\frac{15}{4} \\ 
-\frac{1}{4} \\ 
-\frac{3}{4}
\end{bmatrix}$

 

$\begin{bmatrix}
m_{12} \\ 
m_{22}\\ 
m_{32}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-1 \\ 
\frac{1}{2} \\ 
0
\end{bmatrix}$

 

$\begin{bmatrix}
m_{12} \\ 
m_{22}\\ 
m_{32}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-\frac{1}{4} \\ 
-\frac{1}{4} \\ 
\frac{1}{4}
\end{bmatrix}$

 

A의 역행렬 m은 아래와 같습니다. 

 

$\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\ 
2 & 6 & 8\\ 
3 & 6 & 13
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\frac{15}{4} & -1 & -\frac{1}{4} \\ 
-\frac{1}{4} & \frac{1}{2}  & -\frac{1}{4} \\ 
 -\frac{3}{4} &0  & \frac{1}{4} \\ 
\end{bmatrix}$