[선형대수학] 34. LDU 분해

행렬 A와, LU 분해 결과는 아래와 같습니다.

 

$A=\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\ 
2 & 6 & 8\\ 
3 & 6 & 13
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 
2 & 1 & 0\\ 
3 & 0 & 1
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\ 
0 & 2 & 2\\ 
0 & 0 & 4
\end{bmatrix}=LU$

 

LU분해에서 L과 U는 Lower triangle 과 Upper triangle 입니다. 문헌마다 차이가 있지만, 제가 사용한 방법은 L행렬의 대각이 1이 되는 분해입니다. U행렬의 대각은 1이 아니기 때문에 U행렬의 대각이 1이 되도록 아래와 같이 분해할 수 있습니다. D는 Diagonal matrix의 약어입니다. 

 

$U=\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\ 
0 & 2 & 2\\ 
0 & 0 & 4
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 &0  &0 \\ 
0 &2  &0 \\ 
0 &0  &4 
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\ 
0 & 1 & 2\\ 
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
=DU'$

 

따라서 행렬 A는 아래와 같이 분해됩니다. 

 

$A=\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\ 
2 & 6 & 8\\ 
3 & 6 & 13
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 
2 & 1 & 0\\ 
3 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 
0 & 2 & 0\\ 
0 & 0 & 4
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\ 
0 & 1 & 2\\ 
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$

 

위와 같은 분해가 LDU 분해입니다.